Vektory

Vektory

Vektor predstavuje veličinu, ktorá má okrem veľkosti aj smer. Tým sa líši od obyčajného čísla, čiže skalára, ktoré má iba veľkosť.

Orientovaná úsečka 
Máme v rovine dva rôzne body A, B. Medzi týmito bodmi môžeme viesť úsečku. Takú úsečku zvyčajne zapisujeme ako AB, pritom ale platí, že nezáleží na poradí bodov. Úsečka AB je úplne rovnaká ako úsečka BA. To sa nám nie vždy môže hodiť a preto zavádzame pojem orientovaná úsečka, u ktorej rozlišujeme počiatočný bod a koncový bod. Orientovaná úsečka AB má počiatočný bod v A a koncový bod v B. Na obrázku značíme orientovanú úsečku šípkou, v texte zapisujeme orientovanú úsečku pomocou šípky nad body AB

 

Vektor

Množina navzájom rovnakých orientovaných úsečiek- každú z úsečiek z tejto množiny nazývame umiestnením vektora.

Vektory a, b, c sú lineárne, ak pre všetky k, k patrí R platí, že c= k.a + l.b - c je ich lineárnou kombináciou

Nulový vektor- O - množina orientovaných úsečiek, ktoých začiatočný a koncový bod sú totožné

Kolineárne vektory- lineárne závislé-ak ich umiestnenia sú súhlastné, alebo nesúhlasné orientované alebo aspoň jeden z vektorov je nulový.

V pravouhlom súradnicovom systéme môžeme ku každému vektoru- u priradiť trojicu čísel [u1, u2, u3] = súradnice vektora. Ak u = AB, A [a1, a2, a 3], B [b1,b2, b 3], tak u = A- B = (b1 - a1, b2 - a2,b 3 - a3).

Veľkosť vektora je / u / = √ u12 + u22 + u32 - Jednotkový vektor- ten, ktorého veľkosť sa rovná 1

Uhol dvoch vektorov- Nech u= AB, v = AC – vektory nie sú kolineárne, tak uhlom nazývame veľkosť konvexného uhla polpriamok OA, OB. Ak sú kolineárne a súhlasne orientované, tak ich uhol je rovný 0. Ak sú nesúhlasne orientované ich uhol je rovný π.

cos α = u1v1 + u2 v 2 + u3 v3 - totočíslo sa nazýva skalárny súčin

/u / / v /

Skalárny súčin vektorov u, v je číslo u. v = /u / / v / . cosα or u. v = u1v1 + u2 v 2 + u3 v3

Veľkosť uhla dvoch nenulových vektorov sa rovná 90° práve vtedy, ak ich skalárny súčin sa rovná 0.

Vektory sú kolmé ak u1v1 + u2 v 2 + u3 v3 = 0 a rovnobežné u1v1 - u2 v 2 =0

Vektorový súčin- c = a x b, ktorý má vlastnosti c┴a ٨ c ┴b, smer vektora pravidlom pravej ruky,

/c /= /a / . /b / .sin α c = [u2v3 - u3 v 2 , u3 v1- u1v3 , u1 v 2 – u2 v1]

Súčin čísla a vektora- Nech u = [u1, u2, u3], kєR, /v / = /k / . /u / a v = (ku1, ku2, ku3)

Ak k=0 je v=0, Ak k>0 v je rovnob. a súhlasne orientovaný ak k