Vzdialenosť bodu od priamky

Teoretická časť

 

 

 

Vzdialenosť bodu od priamky

 

Máme v súradnicovej osi zadaný bod B, so súradnicami x, y t.j. B [x1, y1] a priamku p, ktorá je zadaná rovnicou vo všeobecnom tvare, t.j. p = ax + by + c = 0
 
Vzdialenosť bodu B od priamky p, vypočítame podľa vzťahu:
 
 
 
 

 

Uhol dvoch priamok

 

Máme zadané priamky p a q, ktoré sú vyjadrené vo všeobecnom tvare, t.j. p = a1*x + b1*y + c = 0a q = a2*x + b2*y + c2 = 0. Uhol, ktorý tieto priamky zvierajú môžeme vypočítať podľa vzorca:
 
 
 
Máme zadané priamky p a q, ktoré sú vyjadrené v smernicovom tvare, t.j. p: y = k1*x + r1a q: y = k2*x + r2. Uhol dvoch priamok vyjadrených v takomto tvare (za predpokladu, že súčin smerníc je iný ako -1) môžeme vypočítať podľa vzťahu:
 
 
 
 

 

Dve priamky môžu byť:

 

  • Rovnobežné – tento prípad nastáva vtedy, ak nám pri riešení príkladu vyjde, že k1 = k2
  • Kolmé – tento prípad nastáva vtedy, ak nám pri riešení príkladu vyjde, že k1*k2 = -1
  • Rôznobežné – platí vzorec uvedený vyššie. Treba si však uvedomiť zmysel absolútnej hodnoty, ktorý sa vo vzorci nachádza. Uhol pri priamkach nemôže byť tupý (ako to bolo pri vektoroch), ale môže dosahovať maximálne hodnotu 90°.
 
 

 

 
Praktická časť

 

Vypočítajte veľkosť uhla, ktorý zviera priamka, ktorá je daná bodmi A, B s osou x.
 
A [0; - 6] a B [2; 0]

 
V prvom rade si musíme napísať smernicový tvar priamky AB. Na to potrebujeme normálový vektor a jeden bod, t.j.
A [0; -6]
AB = B – A = [2; 6] = smerový vektor
 
Teraz využijeme predpoklad, že normálový vektor je kolmý na smerový vektor a určíme si, že normálový vektor:
AB = [6; -2] = normálový vektor
 
Teraz si napíšeme všeobecný tvar priamky:
6x – 2y + c = 0
 
Dosadíme súradnice bodu A:
6*(0) – 2*(-6) + c = 0
 
Určíme si, čomu sa rovná parameter c:
0 + 12 + c = 0
c = - 12
 
A teda všeobecný tvar priamky sa rovná:
6x – 2y – 12 = 0
 
A z toho teraz dostaneme smernicový tvar a to tak, že si vyjadríme, čomu sa rovná y:
-2y = 12 – 6x …../ :(-2)
y = -6 + 3x
y = 3x – 6
 
 
Smernica priamky AB = k1 = 3
 
Smerový vektor osi x je rovný nule, t.j. k2 = 0
 
Ak teraz dosadíme do vzorca uvedeného v teoretickej časti, dostaneme:
 
 
 

 

Úlohy

 

  1. Napíšte ako vypočítame vzdialenosť bodu od priamky
  2. Uveďte dva spôsoby ako vypočítať uhol dvoch priamok
  3. Kedy sú priamky kolmé a kedy sú priamky rovnobežné?
  4.  

Zdroj www.oskole.sk